Начинал карьеру в московском «
Спартаке». Был выбран в 6-м раунде
драфта НХЛ 1998 года клубом «
Колорадо Эвеланш» под общим номером 167, но в
НХЛ так и не провёл ни одного матча. В 1998—2003 гг. играл в североамериканских лигах: за «
Викториавилл Тайгерз» в
квебекской юниорской лиге (
QMJHL) и за клубы
АХЛ «
Херши Бэрс» и «
Милуоки Эдмиралс».
Победитель
молодёжного чемпионата мира по хоккею 1999 года. Серебряный призёр молодёжного чемпионата мира 2000 года, также на том турнире был признан лучшим защитником и включён в символическую сборную.
В 2003 году вернулся в Россию, присоединившись к ярославскому «
Локомотиву». В 2005 году стал бронзовым призёром
чемпионата мира по хоккею в Австрии в составе
сборной России по хоккею.
С 2005 года выступал за московское «
Динамо». Обладатель
Кубка европейских чемпионов 2006 года в составе «Динамо». В 2006 году перешёл в
СКА. 26 сентября 2008 года был отдан в омский «
Авангард» в обмен на нападающего
Александра Головина[1]. По ходу сезона был отчислен из команды
[2]. Сезон 2009/2010 провёл в подмосковном «
Витязе». Перед сезоном 2010/2011 был на просмотре в нижегородском «
Торпедо», но контракт не был подписан. Продолжил карьеру в екатеринбургском «
Автомобилисте», откуда был обменян в уфимский] «
Салават Юлаев», в составе которого провёл остаток сезона и стал обладателем
Кубка Гагарина 2011 года. В мае 2011 года подписал контракт с челябинским клубом «
Трактор»
[3].
В следующем сезоне Рязанцев стал одним из ключевых игроков обороны «Трактора», был признан лучшим защитником КХЛ в ноябре 2011 года
[4].
6 декабря 2011 года установил рекорд КХЛ для защитников, забив гол в седьмом матче подряд. Рекордная шайба была заброшена на предпоследней минуте основного времени домашнего матча «Трактора» против «Автомобилиста» при счёте 0:1 и позволила челябинцам перевести игру в овертайм, где усилиями
Владимира Антипова была добыта победа
[5].
Сезон 2012/2013 провёл, выступая за череповецкую «
Северсталь». 11 июня 2013 года был обменян в московский «Спартак», воспитанником которого является. В обратном направлении последовал нападающий
Николай Бушуев[6]. В «Спартаке» Александр надолго не задержался — уже 27 сентября 2013 года руководство команды достигло договорённости с «
Динамо» об обмене Рязанцева на выбор в первом раунде драфта юниоров КХЛ 2015 года
[7]. 23 июля 2014 года подписал контракт с нижнекамским «
Нефтехимиком»
[8], но уже 4 октября 2014 года был обменян в хабаровский «
Амур»
[9].